Le problème mathématique le plus simple que personne ne puisse résoudre

Choisissez n'importe quel nombre entier positif. Qui vous plaît.

Si c'est pair, divisez-le par 2. Si c'est impair, multipliez-le par 3 et ajoutez 1. Ensuite, prenez le nombre que vous obtenez et répétez le processus. Continuez.

Voici ce qui est étrange : peu importe le nombre avec lequel vous commencez, vous semblez toujours finir à 1. Toujours. Essayez-le avec 6 : 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1. Essayez-le avec 27 et vous voilà parti pour une course folle : la séquence grimpe jusqu'à 9 232 avant de finalement retomber à 1 après 111 étapes.

C'est la conjecture de Collatz, du nom du mathématicien allemand Lothar Collatz qui l'a écrite pour la première fois en 1937. Et voici le truc : personne n'a jamais prouvé que cela fonctionnait pour tous les nombres. Nous l'avons vérifié pour chaque entier jusqu'à environ 2,95 × 10²⁰ (soit environ 295 quintillions), et cela tient. Mais "ça marche pour une très, très grosse pile de nombres" n'est pas la même chose qu'une preuve, et les mathématiciens ne font pas d'approximations.

Le légendaire Paul Erdős, un homme qui a passé sa vie à résoudre des problèmes difficiles, a dit à propos de la conjecture de Collatz : "Les mathématiques ne sont pas encore prêtes à affronter de tels problèmes." C'était dans les années 1980. Nous ne sommes toujours pas prêts.

Qu'est-ce qui le rend si obstiné ? Une partie du problème réside dans le fait que la séquence se comporte de manière presque aléatoire. Lorsqu'un nombre est impair, vous multipliez par environ 3, lorsqu'il est pair, vous le divisez par 2 - et comme les nombres pairs sont beaucoup plus courants dans les séquences qui émergent, vous vous attendriez à ce que les choses finissent par dériver vers le bas. Mais attendre quelque chose et le prouver sont des choses très différentes. La séquence ne suit pas un modèle précis auquel vous pouvez vous accrocher. Il tourne comme un flipper avant de parvenir à 1.

En 2019, le mathématicien Terence Tao — sans doute le plus grand mathématicien vivant — a fait une percée significative. Il a prouvé que presque tous les nombres de départ finissent par atteindre une valeur proche de 1. Pas exactement 1, ni tous les nombres, mais suffisamment proche pour susciter un véritable enthousiasme dans le monde des mathématiques. Il s’agit du plus grand progrès sur ce problème depuis des décennies. Et ce n'était toujours pas une preuve.

La conjecture de Collatz se situe dans une étrange catégorie de problèmes mathématiques : ceux qu'un enfant peut comprendre en trente secondes mais qui ont résisté aux efforts combinés des meilleurs esprits du monde pendant près d'un siècle. Ce n’est pas le seul – la conjecture des jumeaux premiers et la conjecture de Goldbach ont des personnalités similaires – mais il y a quelque chose d’uniquement exaspérant chez Collatz. La règle est si simple qu’on a l’impression qu’elle devrait être prouvable. Comme si la réponse était proche.

Peut-être. Peut-être que quelqu'un le cassera l'année prochaine. Ou peut-être que cela dépasse vraiment les outils dont nous disposons actuellement, le genre de problème qui nécessite des mathématiques que nous n'avons pas encore inventées.

En attendant, le mieux que chacun d'entre nous puisse faire est de choisir un nombre, de commencer à le diviser et à le multiplier, et de le regarder chuter – inévitablement et mystérieusement – ​​jusqu'à 1.